Mi análisis estadístico para la carrera Químico Fármaco-Biológica (QFB) en la Facultad de Química (C.U) sugiere un escenario peculiar: la distribución de aciertos podría presentar dos jorobas, y el puntaje mínimo necesario para ocupar los 60 lugares disponibles podría caer de los 104 aciertos (mínimo histórico 2021-2026) a alrededor de 90 aciertos. Incluso considerando la incertidumbre estadística, mis simulaciones ubican ese umbral aproximadamente entre 84 y 96 aciertos. ¿Cómo llego a esta conclusión?

La distribución de resultados del examen de admisión en línea de 2026 es claramente distinta de la observada entre 2021 y 2025. Precisamente ante esta discrepancia, la UNAM decidió convocar a un examen presencial de control a quienes alcanzaron, en cada carrera y plantel, al menos el menor umbral de admisión registrado entre 2021 y 2026.

En el caso de la carrera QFB en C.U, al ajustar el mismo modelo estadístico BB2 que he utilizado en análisis anteriores, encuentro que los resultados de 2026 pueden interpretarse aproximadamente como una mezcla de dos grupos:

• 56% con un comportamiento compatible con el patrón histórico 2021-2025 (casos usuales, curva verde).

• 44% con un comportamiento estadísticamente atípico respecto de ese patrón (casos atípicos, curva café).

El modelo de mezcla usuales+atípicos (curva azul) ajusta un poco mejor que el modelo BB2_2026 (curva negra), en términos de error cuadrático promedio:

Para QFB en C.U fueron convocados al examen de control presencial 331 aspirantes, todos ellos con 104 aciertos o más en el examen en línea. Aplicando la regla de Bayes al modelo anterior, estimo que aproximadamente 91.7% de esos 331 convocados pertenecen al componente atípico: alrededor de 304 aspirantes. Solamente unos 27 corresponderían al componente compatible con el comportamiento histórico.

Pero QFB en C.U ofrece 60 lugares. Eso significa que, bajo este modelo, el grupo de aspirantes cuyo desempeño es compatible con la distribución histórica no sería suficiente para cubrirlos todos. Si quienes integran el componente atípico obtienen ahora, en condiciones presenciales, puntuaciones mucho más cercanas a las históricas, la consecuencia podría ser una caída considerable del puntaje de corte para definir a los admitidos.

¿Hasta dónde podría caer? Para responderlo incorporé la incertidumbre de las estimaciones y realicé simulaciones del examen de control. El resultado es llamativo:

el puntaje mínimo para ocupar los 60 lugares podría ubicarse alrededor de 90 aciertos, con un rango aproximado de 84 a 96 aciertos con probabilidad superior al 99%.

Incluso en el extremo superior de ese intervalo estaríamos hablando de unos 96 aciertos, todavía muy por debajo del mínimo histórico de 104.

Si todos los aspirantes del componente compatible con el comportamiento histórico se presentan al examen, pero sólo lo hace una fracción de los pertenecientes al componente atípico (digamos un 40% de los más aplicados), la distribución de resultados del examen presencial podría mostrar dos jorobas.

Una primera concentración de puntuaciones aparecería más abajo y otra alrededor de las puntuaciones altas que históricamente han caracterizado a quienes logran superar el umbral de admisión. Eso daría lugar a una una distribución bimodal por la mezcla de una mayoría de casos atípicos con una minoría de casos usuales:

¿Qué debería hacer la UNAM si este escenario efectivamente ocurre? Podría enfrentarse a un dilema:

cubrir los 60 lugares disponibles aun cuando ello implique que el puntaje mínimo caiga muy por debajo de los niveles históricos, o mantener como referencia el mínimo histórico y dejar lugares sin asignar.

Y, por supuesto, conviene subrayarlo: esto es una estimación estadística, no una predicción determinista. Está construida con información pública y supuestos que hoy considero razonables, pero los resultados reales podrían modificar sustancialmente estas conclusiones.

Este análisis y las opiniones expresadas son exclusivamente personales y no representan la posición de la institución en la cual laboro. Declaro también que no tengo conflicto de interés alguno respecto al tema.

Por simple inspección visual, resulta claramente apreciable que el comportamiento de la distribución de aciertos en 2026 es notoriamente diferente de las observadas durante los cinco años anteriores. Como las distribuciones de los años 2021-2025 son muy parecidas, podemos agrupar las observaciones y obtener una distribución representativa del periodo 2021-2025, en color rojo en la siguiente gráfica:

Busqué un modelo paramétrico sencillo, pero suficientemente flexible, que fuese capaz de representar ambas realidades, tanto la del periodo 2021-2025 como la del año 2026:

Se requiere un modelo de variable aleatoria discreta que reporte alguno de los valores {0, 1, …, 120} con distintas probabilidades, capaz de reproducir las evidentes asimetrías que presentan las distribuciones. Un modelo candidato para esto es el Beta-Binomial(n, a, b) con n=120, pero al intentar ajustarlo se queda lejos de una representación aceptable, además de que las gráficas sugieren la posibilidad de que exista al menos la agregación de dos modelos. Por ejemplo:

X ~ BetaBinomial(n, a1, b1) Y ~ BetaBinomial(120 - n, a2, b2)

con una convolución S = X + Y, que resulta en un modelo de 5 parámetros por estimar, con n en {1, 2, …, 119}, a1 > 0, b1 > 0, a2 > 0, b2 > 0. Como de los aciertos observados, ya sea del periodo 2021-2025 o de 2026, podemos calcular media y varianza muestrales, esto nos reduce la estimación de parámetros a 3, y los otros 2 se deducen de forma que la esperanza y varianza de S coincidan con media y varianza muestrales. Se obtiene un ajuste razonable, aunque no perfecto. Le llamé modelo BB2_2125 al modelo de S ajustado al periodo 2021-2025, y BB2_2026 al modelo de S ajustado al año 2026:

Entonces el modelo paramétrico BB2(n, a1, b1, a2, b2), resulta aceptablemente flexible para representar ambas realidades, tanto la del periodo 2021-2025 como la de 2026:

Notemos que el inicio, de izquierda a derecha, de la curva negra de 2026 como que se parece a la roja de 2021-2025, pero después toma un camino atípico. Imaginemos entonces que, del total de aspirantes en 2026, una proporción w tuvo un comportamiento atípico, y el restante 1-w tuvo un comportamiento usual (como el de 2021-2025). Aquí un reto es estimar w, que es un valor entre 0 y 1. Pero no solo eso, requerimos también un modelo para los casos atípicos.

Sea U una variable aleatoria que representa el puntaje de un aspirante usual de 2026, esto es que se comporta en 2026 igual que en el periodo 2021-2025, y sea A el puntaje de un caso atípico de 2026. Si B es una variable aleatoria Bernoulli con parámetro w justamente, entonces el puntaje que obtendría un caso de 2026 seleccionado al azar puede representarse mediante la variable aleatoria:

R = (1 - B)*U + B*A

Esto es, con probabilidad w resultaría ser un caso atípico, y por tanto con probabilidad 1-w sería uno usual. Si denotamos pR a la función de masa de probabilidades de R, esto es pR(t) = P(R = t), entonces es inmediato deducir que:

pR(t) = (1-w)*pU(t) + w*pA(t)

donde pU(t) = P(U = t) se deduce mediante el modelo BB2 previamente ajustado al periodo 2021-2025, y pA(t) = P(A=t) se puede estimar mediante un tercer modelo BetaBinomial(120, a3, b3). Esto implica que el modelo de R tiene 3 parámetros por estimar: w, a3 y b3. El objetivo es tratar de identificar el comportamiento en 2026, tanto de los casos usuales como de los atípicos. Obtuve una estimación de w = 0.4253. La curva verde representa a los usuales de 2026, esto es (1-w)*pU(t), y la café los atípicos de 2026, esto es w*pA(t):

Nótese que la curva de los atípicos tiene un pico (moda) en 111 aciertos. Y si ahora sumamos las contribuciones ponderadas de ambos componentes, y si el modelo propuesto es adecuado, deberíamos obtener una curva parecida a lo observado en 2026, véase la curva azul:

Finalmente, comparemos la distribución obtenida mediante la mezcla con el modelo BB2 previamente ajustado a los datos de 2026:

El modelo de mezcla reproduce razonablemente bien la forma general de la distribución observada en 2026. Bajo el supuesto de que uno de sus componentes conserva el comportamiento registrado durante 2021-2025, dicho componente tendría un peso estimado de aproximadamente 57.5%. El segundo componente tendría un peso cercano a 42.5% y presentaría una moda alrededor de 111 aciertos.

Esta descomposición debe interpretarse como un ejercicio exploratorio de modelización estadística. No permite identificar aspirantes individuales ni establecer las causas del cambio observado en 2026. Los resultados dependen de la elección del modelo, del periodo utilizado como referencia y del método de estimación, por lo que deberán revisarse cuando se disponga de información más detallada.

Como corolario del modelo que ajusté para el caso de médico cirujano en CU, la probabilidad de que un admitido (117 aciertos o más) sea un caso atípico me resulta de 98.2%. Simple cálculo de probabilidad condicional mediante la Regla de Bayes:

P(atípico | admitido) = 1 / {1 + (1-w)*P(aciertos ≥ 117 | usual) / w*P(aciertos ≥ 117|atípico)}

donde:

w = 0.4253 (es decir, 42.53% estimado de casos atípicos en general)

P(aciertos ≥ 117 | usual) = 0.0010465 (0.1%)

P(aciertos ≥ 117 | atípico) = 0.078292 (7.8%)

Si las autoridades de la UNAM se animaran a repetir el examen de admisión, pero en forma presencial, desde un punto de vista estadístico no sería estrictamente necesario convocar a todos los que participaron en el examen vía internet. Por ejemplo, en el caso de la carrera de médico cirujano en la Facultad de Medicina (C.U) bastaría convocar a quienes obtuvieron 106 aciertos o más, y estaríamos hablando, en este caso, de 2818 aspirantes de 13668 que presentaron el examen en línea, es decir, solamente a 20.6% de ellos. Esto porque de los 2818 aspirantes que obtuvieron 106 aciertos o más, se estima de forma análoga que 93.14% son casos atípicos, esto es 2625 aspirantes, y por tanto serían 193 aspirantes usuales que cubrirían sobradamente los 176 lugares ofertados para 2026.

Este análisis y las opiniones expresadas son exclusivamente personales y no representan la posición de la institución en la cual laboro. Declaro también que no tengo conflicto de interés alguno respecto al tema. Si deseas reproducir estas gráficas, los parámetros son los siguientes:

Modelo BB2_2125:

X = BetaBinomial(44, 6.2977, 1.5935), Y = BetaBinomial(76, 0.7799, 1.4986), S = X + Y

Modelo BB2_2026:

X = BetaBinomial(39,11.8906, 2.3183), Y = BetaBinomial(81, 0.7397, 0.5755), S = X + Y

Modelo Usuales+Atípicos:

R = 0.5747*BB2_2125 + 0.4253*BetaBinomial(120, 10.2658, 1.8220)

Fuente de los datos:

https://www.dgae.unam.mx/admision_licenciatura/

Lenguaje de programación utilizado para cálculos y gráficas:

https://julialang.org/

Pocas ideas han dominado el pensamiento estadístico con tanta fuerza, y con tan poca resistencia, como la distribución de probabilidad Normal, también llamada gaussiana.1 Su célebre función de densidad de probabilidades en forma de campana se ha vuelto sinónimo de “lo aleatorio”, al punto de que muchas personas, incluyendo no pocos profesionales, asumen de entrada que cualquier conjunto de datos debería distribuirse normalmente, y que cuando no lo hace algo anda mal con los datos.

Conviene empezar por aclarar de dónde viene la veneración. Hay una razón matemática detrás del protagonismo de la distribución Normal: el Teorema Central del Límite.2 En su versión más conocida, dicho teorema establece que si sumamos (o promediamos) una gran cantidad de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas y con varianza finita, entonces la distribución de probabilidad de esa suma (o del promedio) se aproxima a una distribución Normal conforme el número de variables involucradas crece (tamaños de muestra “grandes”), sin importar cuál sea la distribución y tipo de las variables aleatorias originales. Es un resultado profundo y elegante. Pero nótese qué es exactamente lo que el teorema afirma que se aproxima a una Normal: el promedio o la suma, no las observaciones individuales de las que se compone.

Aquí ocurre el primer salto injustificado. Que el promedio de muchas observaciones de una variable aleatoria X tienda a comportarse de forma gaussiana no implica en absoluto que X misma sea gaussiana. La estatura de las personas puede aproximarse razonablemente a una Normal; los ingresos de esas mismas personas, definitivamente no. Confundir la distribución de un promedio con la distribución de aquello que se promedia es uno de los errores conceptuales más extendidos, y conviene tenerlo presente cada vez que alguien invoca el Teorema Central del Límite como salvoconducto para suponer normalidad donde no corresponde.

¿Qué tiene de especial la campana?

Una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad Normal tiene propiedades verdaderamente cómodas. Queda completamente determinada por solo dos parámetros, uno que corresponde a su media, y otro para su varianza. Es simétrica respecto a su media, de modo que media, mediana y moda coinciden. Sus colas decaen extraordinariamente rápido, tan rápido que los valores muy alejados de la media son, para efectos prácticos, casi imposibles: bajo una distribución Normal, una observación a más de cinco desviaciones estándar de la media ocurre con una probabilidad cercana a una en varios millones.

Esa última propiedad, que pareciera una virtud, es precisamente donde nace el peligro. El mundo real está lleno de fenómenos en los que los valores extremos no solo son posibles, sino que dominan el comportamiento del sistema. Y para esos fenómenos suponer normalidad no es una simplificación inocente: es una manera de declarar casi imposible aquello que terminará por ocurrir.

¿Dónde miente la gaussianidad?

Pensemos en los rendimientos de activos financieros. Buena parte de la teoría clásica de finanzas, incluyendo modelos por los que se otorgaron premios Nobel, descansa sobre el supuesto de que los (log)rendimientos siguen una distribución Normal. Sin embargo, la evidencia empírica acumulada durante décadas muestra que los rendimientos exhiben colas más pesadas: las caídas y subidas extremas ocurren con una frecuencia mayor a la que una distribución Normal predeciría. El desplome bursátil de octubre de 1987,3 en el que un índice accionario cayó más de veinte desviaciones estándar en un solo día, era, bajo el supuesto gaussiano, un evento que no debería ocurrir ni una sola vez en la historia del universo. Pero ocurrió un lunes.

El patrón se repite por todas partes una vez que uno aprende a buscarlo. La magnitud de los terremotos, el tamaño de las ciudades, el número de víctimas en conflictos armados, los tamaños de archivos en una red, la riqueza de los individuos: todos estos fenómenos siguen distribuciones que se alejan significativamente de la distribución Normal, frecuentemente de tipo ley de potencias, en las que un puñado de eventos colosales acumula parte significativa del efecto total.

El abuso silencioso

Lo más insidioso del supuesto de normalidad no es cuando se declara explícitamente, sino cuando se cuela sin anunciarse. Cada vez que alguien resume la dispersión de unos datos reportando únicamente la desviación estándar, está implícitamente privilegiando una lógica gaussiana, en la que la desviación estándar lo dice prácticamente todo. Cada vez que se construye un intervalo de la forma “media más menos dos desviaciones estándar” y se le atribuye una cobertura cercana al 95%, se está invocando a la distribución Normal. Cada prueba t de Student, cada intervalo de confianza calculado con la fórmula de costumbre, cada regresión lineal cuyos supuestos con frecuencia no se validan, arrastra consigo una hipótesis gaussiana que comúnmente ya ni se somete a escrutinio.

La varianza, o equivalentemente la desviación estándar, son medidas de variabilidad razonables cuando la distribución es ligera de colas y razonablemente simétrica, pero pierden sentido, e incluso pueden no existir, en distribuciones de cola suficientemente pesada. La distribución de probabilidad Cauchy,4 por ejemplo, aunque tiene forma acampanada, similar a la distribución Normal, ni siquiera tiene media bien definida, mucho menos varianza. Calcularle una “desviación estándar muestral” a datos provenientes de una distribución Cauchy produce un número, sí, pero ese número no converge a nada conforme crece el tamaño de muestra. Y no es difícil que aparezca una distribución de Cauchy. Por ejemplo, el cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución Normal(0,1) tiene justamente distribución Cauchy.

La dependencia también es víctima

Hay un segundo frente, más sutil, donde el abuso de la gaussianidad causa estragos: el estudio de la dependencia entre variables. La costumbre de medir asociación entre variables mediante el coeficiente de correlación de Pearson se hereda directamente del mundo gaussiano. Bajo normalidad conjunta, la correlación de Pearson captura toda la estructura de dependencia entre dos variables: si la correlación es cero, las variables son independientes, y la dependencia completa queda resumida en ese único número.

Pero fuera de la normalidad conjunta ese resumen se desmorona. Una correlación de Pearson igual a cero no implica, en general, independencia: existen variables fuertemente dependientes cuya correlación lineal (o de Pearson) es exactamente cero. Y, lo que resulta más grave en modelización de riesgos, la dependencia en las colas (en inglés: tail dependence), es decir, la tendencia de dos variables a tomar valores extremos simultáneamente (el famoso “efecto dominó” en finanzas), es algo que la correlación de Pearson sencillamente no puede capturar. Dos pares de variables pueden compartir la misma correlación lineal y, sin embargo, comportarse de manera radicalmente distinta cuando ocurren los eventos extremos que de verdad importan o preocupan.

El Teorema de Sklar5 nos ofrece la salida: toda distribución conjunta puede descomponerse en sus distribuciones marginales por un lado, y una función cópula6 que captura por separado toda la estructura de dependencia, por el otro. Las cópulas permiten modelizar dependencia, incluida la dependencia en las colas, sin quedar prisioneros del supuesto gaussiano ni de la pobreza informativa de la correlación de Pearson. Que la crisis financiera de 2008 se asocie, entre muchos otros factores, al uso acrítico de una cópula gaussiana para valuar instrumentos de crédito, una cópula que por construcción asigna dependencia nula en las colas justo donde los impagos se contagian (efecto dominó), debería bastar como advertencia de lo caro que sale confundir conveniencia matemática con realidad.

Entonces, ¿qué hacer?

No se trata de proscribir la distribución Normal. Es una herramienta valiosa, y en su dominio de aplicación, fenómenos generados por la suma de muchos efectos pequeños e independientes, errores de medición, promedios de muestras grandes, funciona admirablemente. El problema no es la Normal, sino asumir normalidad por defecto, el reflejo de suponerla siempre presente sin haberla puesto a prueba.

En lugar de asumir gaussianidad hasta que algo grite lo contrario, conviene mejor partir de la sospecha, mirar los datos, graficar, examinar las colas, preguntarse si los valores extremos son inofensivos o decisivos, y reservar el supuesto de normalidad para los casos en que tengamos razones de peso para ello, sean teóricas o empíricas. El mundo no es todo normalidad. No abuses de la gaussianidad. ¡Abajo la dictadura de la campana!

En una publicación anterior abordé de forma general el concepto de variable aleatoria, aunque el ejemplo proporcionado en realidad fue de un tipo particular (discreto), así que ahora escribo sobre variables aleatorias continuas.

La palabra discreto viene del latín discretus, pasado participio de discernere, que significa separar, distinguir o apartar. En latín clásico discretus ya se usaba con el sentido de separado o distinto, contrastando con continuus (unido, sin interrupciones), del verbo continere (mantener junto).

Recordemos que una variable aleatoria X es, en general, una cuantificación de ciertos aspectos derivados de los resultados inciertos de un fenómeno o experimento aleatorio. Al conjunto de valores posibles que puede reportar X lo denominamos rango de la variable aleatoria, y lo denotamos Ran X. Si el conjunto de valores en Ran X son números claramente separados entre sí, y se pueden enumerar, decimos que X es una variable aleatoria discreta.

En tal caso, para realizar cálculo de probabilidades con una variable aleatoria discreta, basta poder deducir o aproximar una fórmula general para calcular probabilidades puntuales P(X = x) para cualquier x elemento de Ran X, y a dicha fórmula se denomina función de masa de probabilidades.

Cuando el conjunto de valores Ran X corresponde a una infinidad no numerable de valores posibles, informalmente entendiendo por “no numerable” que los distintos valores están muy juntos unos de otros (continuus), como ocurre en un intervalo de números reales (acotado o no), existen varios tipos, del cual solo discutiré el correspondiente al de variable aleatoria continua.1

Un ejemplo ilustrativo sería el caso de la estatura resultante de una persona adulta seleccionada al azar en una determinada población. No existe un conjunto finito, ni siquiera infinito numerable, de estaturas distintas posibles, ya que, en principio, cualquier número real positivo podría ser. En cuanto a un intervalo de valores entre una estatura mínima y una máxima posible en adultos, tampoco se tiene claridad científica al respecto. Solo tenemos referencias históricas en las que se ha documentado una estatura mínima verificada, hasta el momento, de aproximadamente 0.55 metros, y una estatura máxima, hasta el momento, de 2.72 metros.

Pero aun si tomáramos como válido que toda estatura necesariamente se encuentra en el intervalo de 0.55 a 2.72 metros, entre dichos valores existe una infinidad no numerable de estaturas posibles. Y así como no existen personas con exactamente las mismas huellas digitales, así sean gemelas, tampoco existen dos personas con exactamente la misma estatura.

Que dos personas reporten medir, por ejemplo, 1.72 metros, es una coincidencia por redondeo del instrumento de medición que solo llega hasta centímetros, pero con una mayor precisión (milímetros o más pequeño) seguro que miden algo distinto. De hecho, la probabilidad teórica de que la estatura exacta de una persona sea igual a un número racional2 es cero, esto es, con probabilidad 100% tu verdadera estatura ¡es un número irracional!3 Nunca podrás medirla de forma exacta porque no tenemos instrumentos de precisión infinita.

Entonces, cuando una persona reporta que mide 1.72 metros de estatura, en realidad está reportando, implícitamente, que su estatura se encuentra en el intervalo que va de 1.715 metros hasta antes de 1.725 metros, mismo que denotamos [1.715,1.725), y el valor 1.72 es el punto medio de dicho intervalo, elegido arbitrariamente como representante del mismo.

Con variables aleatorias continuas lo que tiene sentido preguntarse es sobre la probabilidad de que reporten un valor que pertenezca a un intervalo de interés, esto es, sobre cómo calcular cosas como P(a < X < b) para cualesquiera valores a y b.

Volviendo a la idea de una variable aleatoria continua X que represente la estatura (en metros) de personas adultas elegidas al azar dentro de una determinada población, si medimos a 200 personas obtendríamos una serie de mediciones que podrían verse como: 1.57, 1.73, 1.66, 1.81, 1.61, etc. Quizás con algunos valores repetidos por efecto del redondeo derivado de la limitación de precisión de nuestro instrumento de medición, que solo llega hasta centímetros. Luego podemos definir arbitrariamente intervalos de interés, y contar cuántas personas (frecuencia) caen en cada intervalo, y tabularlo. Por ejemplo:

El porcentaje de personas que caen en cada intervalo4 representa una aproximación empírica de la probabilidad de que una persona elegida al azar en esa población resulte con una estatura en cada intervalo. Así, por ejemplo, 30.5% sería (aproximadamente) la probabilidad de que un persona resulte con estatura mayor a 1.705 y no más de 1.805 metros, que escribimos como P(1.705 < X ≤ 1.805) = 0.305. La tabla anterior puede visualizarse mediante una gráfica de barras, conocida como histograma de frecuencias:

Mediante un sencillo ajuste a los datos anteriores, podemos hacer que las áreas de las barras (rectángulos amarillos) coincidan con los porcentajes observados. En este caso, como los intervalos de estaturas son de longitud 0.1 metros, que es la medida de la base de cada barra o rectángulo, multiplicando por el total de alturas que es 200 obtenemos 0.1×200=20, por lo que dividiendo entre 20 los conteos, obtenemos “conteos ajustados” que logran el objetivo deseado:

Por ejemplo, para estaturas entre 1.70 y 1.80, el “conteo” ajustado es 3.05, que es la altura de la barra o rectángulo con medida de la base 1.80-1.70=0.1, por lo que su área es 0.1×3.05=0.305, o equivalentemente 30.5%, como se buscaba.

Y es aquí donde las matemáticas hacen su magia, y nos proporcionan diversas alternativas de funciones que pueden aproximar el comportamiento anterior, mismas que se denominan funciones de densidad de probabilidades, y cuya área sobre cualquier intervalo de interés nos proporciona la probabilidad de que una persona elegida al azar en dicha población tenga una estatura que pertence a dicho intervalo.

La curva roja representa una función de densidad de probabilidades f de una variable aleatoria continua X, con la cual hay que calcular el área que encierra sobre un intervalo de interés [a,b] para calcular la probabilidad de que X reporte un valor en dicho intervalo, lo cual es posible mediante cálculo integral:

Así que el cálculo de probabilidades con variables aleatorias (absolutamente) continuas se circunscribe esencialmente a deducir, o estimar con base en datos observados, la función de densidad de probabilidades. Existe ya un amplio catálogo de funciones paramétricas distintas para probar o adaptar. Y hago énfasis en AMPLIO porque en la práctica se abusa muchísimo de un solo modelo particular que se pretende utilizar casi para todo: la función de densidad gaussiana5, también conocida como Normal, de la cual hablaremos, y la criticaremos, en otra ocasión.

Una necesidad frecuente de la modelización probabilística tiene que ver con la incertidumbre sobre el número de ocurrencias de un evento de interés, en un lapso de tiempo dado. Por ejemplo, número de reclamaciones mensuales por siniestros cubiertos por pólizas de seguros, número de vehículos que llegan a una caseta de peaje en un horario y día de la semana, número de solicitudes de transacción que recibe una app bancaria por minuto, etc. Lo anterior es relevante para la toma de decisiones, particularmente las que tienen que ver con prevenir que el número de ocurrencias sobrepase la capacidad de atención, entre otras preocupaciones relevantes.

Como el número de ocurrencias es incierto, lo representamos por medio de una variable aleatoria (discreta) X que reportará algún valor del conjunto {0,1,2,…}, y requerimos una fórmula que, para cualquier número n de ocurrencias de un evento de interés, nos permita calcular la probabilidad P(X = n).

Aunque el valor que reporta X en cada ocasión es incierto, además de cuantificar dicha incertidumbre probabilísticamente, en dos publicaciones anteriores he discutido brevemente sobre dos aspectos fundamentales que interesan de cualquier variable aleatoria: su esperanza o valor esperado, denotado por E(X), y su variabilidad alrededor de E(X), que puede medirse de diversas formas, entre ellas la más popular es la varianza, denotada por V(X).

La esperanza E(X), cuando existe, es un número al que se va aproximando el promedio aritmético de una gran cantidad de observaciones de X. Como se trata de una aproximación, para cualquier valor n de observaciones de X interesa medir también qué tanto se alejan, en promedio, los valores que puede reportar X respecto a E(X), y una de las formas comunes para cuantificar variabilidad alrededor de E(X), es mediante V(X), entre otras alternativas.

Si, por ejemplo, X representa el número de vehículos por minuto que salen a carretera por una determinada caseta de peaje, los días viernes de 3:00 a 6:00 p.m, el número E(X) describe la afluencia promedio usual, pero ese número no me previene sobre situaciones atípicas que podrían ser preocupantes, consecuencia de la variabilidad de X, particularmente qué tanto puede alejarse X por arriba de E(X), porque esto podría provocar largas filas en dicha caseta de peaje, con las molestias y riesgos que esto representa.

Entonces, respecto a cualquier variable aleatoria nos interesa, al menos, cuantificar dos características fundamentales:

• Tendencia central: Alrededor de qué valor usualmente reporta valores X, que puede ser E(X) o alguna otra propuesta (la mediana o la moda, de las que hablaré en otra ocasión).

• Dispersión: Alguna medida de la variabilidad de X alrededor de su tendencia central, por ejemplo V(X), aunque existen otras alternativas ¡no te aferres a la varianza!

Para que un modelo probabilístico pueda representar con flexibilidad las dos características anteriores, requiere tener al menos dos parámetros, ya sea que cada parámetro represente alguna de estas características, o bien que de forma combinada distintos valores de ambos parámetros permitan representar distintos valores de tendencia central y dispersión.

Un modelo probabilístico con un solo parámetro no tiene el mínimo de flexibilidad mencionado, pues casi inevitablemente la tendencia central y la dispersión dependenden de un mismo valor del parámetro. Tal es el caso de uno de los modelos probabilísticos más populares para incertidumbre sobre conteos: el conocido como distribución de probabilidades Poisson:1

Al tener un solo parámetro b > 0, resulta que E(X) = b = V(X), esto es que solamente es válido cuando numéricamente su esperanza sea exactamente igual a su varianza, lo cual resulta un requerimiento absurdo, por dos simples razones:

1. La tendencia central y la variabilidad son dos aspectos distintos del comportamiento de una variable aleatoria, y para un mismo valor de tendencia central se puede tener mayor o menor variabilidad, no tienen por qué estar amarrados a ser numéricamente iguales.

2. Los valores numéricos E(X) y V(X) ni siquiera coinciden en unidades de medición, porque E(X), cuando existe, es un número en las mismas unidades de medición de X, y en cambio el número V(X), cuando existe, está en unidades al cuadrado de las originales (tengan o no sentido).

En la práctica, cuando se analizan datos observados de conteos, con frecuencia la varianza observada en los datos excede numéricamente al promedio aritmético de los datos, especialmente por el hecho de V(X) es un promedio de largo plazo de desviaciones cuadráticas de X respecto a E(X), y al estar elevando al cuadrado dichas desviaciones con facilidad se obtienen valores numéricos de la varianza que exceden a la esperanza y, por tanto, un modelo como el de Poisson resulta poco realista.

El comentario anterior es válido no solo para conteos y la popular distribución de probabilidades Poisson: En general, cualquier modelo probabilístico de una variable aleatoria que cuenta con un solo parámetro no debiera utilizarse en la práctica para representar fenómenos reales, porque no tiene la mínima flexibilidad para adaptarse a situaciones con distintos valores de tendencia central y dispersión. Existen muchos otros modelos probabilísticos de dos o más parámetros para conteos (Binomial, Binomial-Beta, Binomial-Negativa, Binomial-Negativa-Beta, Poisson-Gamma, etc.), e incluso se pueden construir nuevos discretizando modelos de variables aleatorias continuas de dos parámetros. ¡Ya no uses Poisson para conteos!

En un artículo anterior abordé el concepto de esperanza, o valor esperado, de una variable aleatoria X, que esencialmente se trata de un número (cuando existe) que denotamos E(X), y que interpretamos como el valor al que se aproxima el promedio aritmético de una gran cantidad de observaciones independientes de dicha variable. Dicho brevemente, E(X) es un promedio de muy largo plazo de muchas observaciones de X. Entre mayor sea el número de observaciones de X, menor será la diferencia entre dicho promedio y el valor teórico E(X), y entre menor sea el número de observaciones de X, mayor puede ser la diferencia entre el promedio observado y el valor teórico E(X).

Entonces, para un número preestablecido n de observaciones independientes de X, que denotaremos {x(1), x(2), …, x(n)}, surge la pregunta sobre qué tanta diferencia puede existir entre el promedio aritmético m = (x(1)+x(2)+…+x(n)) ÷ n y el valor teórico E(X). La Ley de Grandes Números de la Teoría de la Probabilidad nos garantiza que conforme n tiende a infinito la diferencia absoluta |m - E(X)| tiende a cero, pero para un valor finito de n dicha diferencia no es necesariamente cero, y surge entonces la pregunta:

La anterior es una pregunta sobre variabilidad, en este caso del promedio aritmético de n observaciones independientes de X, respecto al valor teórico E(X) tomado como valor de referencia, aunque nada impide considerar variabilidad respecto a algún otro valor fijo que pudiera interesarnos.

No existe una forma única de medir dicha variabilidad, ya que depende de cómo nos resulte conveniente medir la diferencia entre los valores m y el valor que decidamos tomar como referencia, que típicamente es E(X), pero no necesariamente. Por ejemplo, si nos da igual lo que m pueda alejarse por arriba que por abajo del valor E(X), entonces la diferencia absoluta |m - E(X)| puede resultar adecuada.

Pero ahora surge otro problema: el valor del promedio aritmético m depende de n observaciones particulares de la variable aleatoria X, que no necesariamente concidirán con otras n nuevas observaciones de X, y quisiéramos una medida de variabilidad estable y representativa para X. Esto puede lograrse definiendo lo siguiente:

Esto es, definimos al número D(X) como el promedio de muy largo plazo de las diferencias absolutas entre los valores que reporta la variable aleatoria X y E(X). Es decir, en promedio de largo plazo, qué tanto se alejan los valores de X, por arriba o por abajo de E(X). En el caso particular de una variable aleatoria discreta1, para la cual es posible tener una fórmula general del cálculo de la probabilidad P(X = x), donde x es cualquiera de los valores que puede reportar X, el cálculo de D(X), al ser un esperanza también, es simplemente la suma ponderada de cada valor |x - E(X)| multiplicado por la probabilidad P(X = x), para cada x posible:

Pero puede haber contextos en los que sí sea importante considerar de diferente manera las desviaciones de X por abajo de E(X), que las desviaciones por arriba de E(X). Por ejemplo, si X representa las utilidades anuales inciertas de una empresa. En este caso E(X) se interpreta como la utilidad promedio anual de largo plazo, pero si en el corto plazo X reporta un valor muy por debajo de E(X) esto es preocupante para los dueños y la salud financiera de la empresa; en cambio, si en algún año X reporta un valor muy por arriba E(X) ¡todos felices! En tal caso solo habría preocupación por la variabilidad que pueda exhibir X por debajo del valor E(X), y podríamos enfocarnos en calcularla, por ejemplo, de la siguiente forma:

Entonces L(X) se interpreta como el promedio de largo plazo de una variable aleatoria Z = mínimo{ 0, X - E(X) }, esto es L(X) = E(Z), que solo toma en cuenta valores de X por debajo de E(X) ya que cuando X > E(X) entonces Z = 0. Es decir, L(X) se enfoca en cuantificar la variabilidad que realmente nos preocupa en este caso.

Las anteriores son distintas formas de medir variabilidad, entre muchas otras formas que podrían proponerse con fines específicos. Pero entonces ¿y la famosa varianza? Ésta se denota y define como sigue:

La idea de V(X) es similar a la de D(X) en el sentido que se cuantifican por igual desviaciones de X por arriba que por abajo del valor de referencia E(X) ya que, tanto el valor absoluto como el cuadrado de la diferencia X - E(X), valen lo mismo en cada caso, esto es, sin importar el signo (positivo o negativo) de la diferencia X - E(X).

Hay un pequeño problema de interpretación con el valor V(X) y es que, al tratarse de un promedio de largo plazo de diferencias cuadráticas, la cantidad resultante se encuentra en unidades al cuadrado de las originales, lo que usualmente no tiene sentido alguno. Por ejemplo, si X cuantifica en unidades monetarias (pesos, dólares, etc.) entonces el valor resultante de V(X) estará en esas unidades pero al cuadrado, esto es en “pesos cuadrados” o “dólares cuadrados”.

Para evitar unidades cuadradas que no tienen sentido se recurre al concepto de desviación estándar, que es simplemente la raíz cuadrada de V(X), para que el valor obtenido quede en las unidades de medición originales. Pero aun así, la desviación estándar de X no coincide con D(X). Hay quienes consideran mejor el uso de las desviaciones cuadráticas que se utilizan en la definición de V(X), como una mejor opción que D(X) que utiliza desviaciones absolutas, porque penaliza más severamente grandes desviaciones de X respecto a la referencia E(X) que la penalización de D(X). Pero si de penalizar más fuerte las grandes desviaciones se trata ¿por qué no, entonces, se utilizan potencias pares de las desviaciones mucho más grandes que 2? Esto es:

donde 2k representa cualquier potencia par 2, 4, 6,… Esto nos llevaría a una discusión que dejaré para otra ocasión: funciones de pérdida (o de utilidad) para la toma de decisiones. Pero la idea central del presente artículo es hacer énfasis en que formas de medir variabilidad hay muchas, y que esto está abierto para adaptarse a las necesidades particulares que tengamos en un problema específico.

En finanzas bursátiles es muy común que se utilice o adapte la varianza como medida de riesgo o medida de volatilidad, como si siempre preocupara por igual la variabilidad por arriba que por abajo de una cantidad de referencia. Si, por ejemplo, una variable aleatoria X representa el rendimiento incierto del precio por acción de un empresa que cotiza en una bolsa de valores que compré, solo me preocupan los posibles rendimientos por abajo de E(X), porque todo lo que ocurra por arriba de E(X) ¡me conviene y me hace más rico! Claramente en este ejemplo, una medida como L(X) sería una forma más realista de medir el riesgo que me preocupa, que utilizando V(X). ¡No te aferres a la varianza!

Una vez que tenemos identificada una variable aleatoria X que cuantifica de forma conveniente los posibles resultados de un fenómeno o experimento aleatorio, y que además hemos deducido o aproximado un modelo probabilístico que describe nuestra incertidumbre sobre los valores que puede reportar X, es posible analizar cierto tipo de características, entre las que se encuentra el muy relevante concepto de esperanza.

En idioma inglés, para dicho concepto, una expresión común es expected value, que en idioma español se traduce como valor esperado de una variable aleatoria X, y es un número que se denota E(X). La expresión resulta engañosa (misleading, en inglés) porque fácilmente se malinterpreta como un valor que puede ser reportado por X, y peor aún, como el valor más probable que podría reportar, por aquello de “valor esperado” que erróneamente pudiera entenderse como “el valor más esperado”.

Cuando existe el número E(X), pudiera ser un valor que ni siquiera se encuentra entre los que puede reportar X, esto es, ya no digamos que no es el valor más probable, con frecuencia resulta que la probabilidad de que X reporte el número E(X) es ¡cero! es decir, imposible que suceda.

Para el caso de una variable aleatoria discreta, esto es, donde el conjunto de valores posibles que puede reportar X es un conjunto numerable V = {x1, x2, …} el valor esperado (también llamado esperanza matemática) se calcula así:

Cuando existe, el número E(X) es un promedio ponderado, ya que cada valor posible de X se multiplica por la probabilidad de ser reportado. Cuando el conjunto V de valores posibles de X es finito, el número E(X) siempre existe. Es cuando V es infinito numerable que E(X) puede o no existir, ya que su cálculo se traduce en una suma infinita, que puede o no converger a un número particular.

Consideremos el caso de una variable aleatoria X con modelo de probabilidad Bernoulli con parámetro 0 < q < 1. Se trata de una variable aleatoria que solo reporta uno de dos valores, cero o uno {0,1}, de modo que P(X = 1) = q, y P(X = 0) = 1 - q. En este caso es inmediato comprobar que E(X) = q.

Nótese que, en este caso, la probabilidad de que la variable aleatoria X reporte el valor q es cero, es decir ¡es imposible que X reporte su “valor esperado”! ¿Cómo interpretamos entonces el número E(X) = q en este caso? Intuitivamente, P(X = 1) = q significa que si observamos muchas repeticiones de valores reportados por X, que en este caso son solo unos y ceros, aproximadamente 100q% de las veces X reportaría el valor 1, y el restante 100(1-q)% de las veces el valor 0.

Por ejemplo, después de n=1000 repeticiones de observaciones de X con q = 0.5, aproximadamente 500 veces X reportaría el valor 1, y las restantes el valor 0. Si sumamos los valores de X en las 1000 repeticiones, y el resultado lo dividimos entre las 1000 repeticiones, obtendríamos la media aritmética de los valores reportados por X en las 1000 repeticiones, que en este caso sería aproximadamente igual a 0.5. Nótese el uso de “aproximadamente”, porque aún cuando P(X = 1) = 0.5, esto no garantiza que exactamente la mitad de las veces la variable aleatoria X reportará el valor 1, así como lanzar 4 volados con una moneda equilibrada no garantiza que exactamente 2 volados resultarán en una cara y 2 en la otra.

Pero entre mayor sea el número de repeticiones/observaciones de X, más se parecerá la media aritmética de los valores reportados al valor teórico E(X). Así que esto es lo que significa, cuando existe, el número E(X), mal llamado “valor esperado”. Tiene más sentido llamar a E(X) media, o más precisamente media teórica, de la variable aleatoria X, justo por la interpretación que tiene como valor límite cuando se calcula la media aritmética de una “gran cantidad” de observaciones de X. Con relativamente pocas observaciones de X, el valor E(X) no tiene una interpretación realmente útil, ni siquiera bajo el concepto de “juego justo”, que abordaremos en otra ocasión.

Así que, en resumen, el concepto de valor esperado de una variable aleatoria (cuando existe) NO equivale a “el valor más esperado” ni al “valor más probable” que puede reportar la variable aleatoria, y con frecuencia hasta es un valor imposible de ser reportado por dicha variable. En realidad, nos habla de un valor al que se aproximaría la media aritmética de una “gran cantidad” de observaciones de la variable aleatoria, y de ahí que en Teoría de la Probabilidad se le conozca como Ley de Grandes Números, que es un teorema que fue demostrado por primera vez y publicado en el año 1713 por Jacobo Bernoulli, justamente para el caso de una variable aleatoria binaria, que hoy llamamos en su honor variable aleatoria Bernoulli. Posteriormente se demostraron interpretaciones análogas para todo tipo de variables aleatorias cuya media teórica exista.

Las mal llamadas “variables aleatorias” constituyen las piezas fundamentales (building blocks, en inglés) de toda la modelización probabilística y su posterior inferencia estadística. Y digo “mal llamadas” porque ni son variables, ni son aleatorias: son funciones con una regla de correspondencia definida; pero ni modo, ya se les quedó ese nombrecito. Son, en realidad, lo que en Teoría de la Medida se conoce como funciones medibles, probabilísticamente hablando en este caso.

A diferencia de lo que ocurre con un espacio de probabilidad (ver mi artículo: Toda probabilidad es subjetiva) donde éste se especifica (cuando es posible) con base en la información que se tiene del fenómeno o experimento de resultado incierto, con las variables aleatorias tenemos prácticamente total libertad de especificarlas como mejor nos convenga para un fin específico. Mediante la regla de correspondencia que la define expresamos la forma como necesitamos cuantificar aspectos que nos interesan.

Consideremos, por ejemplo, el experimento de lanzar un dado equilibrado una sola vez, con caras numeradas del 1 al 6. Esto implica que cualquiera de los seis resultados posibles tiene una probabilidad 1/6 de observarse. Con lo anterior, el espacio de probabilidad asociado a este experimento aleatorio ha quedado completamente especificado.

En la imagen anterior, n(E) representa el número de elementos de E. Por ejemplo, si nos interesa el evento de que el resultado del lanzamiento sea un número par, el conjunto de resultados que representa este evento es E = {2,4,6} , de donde n(E) = 3 y, por tanto, su probabilidad es P(E) = 3/6 = 1/2.

Ahora definamos un esquema de apuesta con base en el resultado del lanzamiento del dado, según el cual ganaremos $100 pesos si sale 5 o 6, perderemos $200 si sale 1, y ni ganamos ni perdemos dinero bajo cualquier otro resultado. Lo anterior define implícitamente una función, que denotaremos X, que al resultado 1 le asocia el valor -$200, a los resultados 2, 3 y 4 les asocia el valor $0, y a los resultados 5 y 6 les asocia el valor +$100.

Esto es, la variable aleatoria X cuantifica una consecuencia financiera de interés, según el resultado incierto del lanzamiento del dado. La incertidumbre radica en el resultado del lanzamiento del dado, pero una vez conocido, no hay incertidumbre alguna sobre el valor que reportará la variable aleatoria X. No tenemos control sobre el resultado del experimento o fenómeno aleatorio, pero sí lo tenemos sobre la forma en cómo decidamos cuantificar las consecuencias de cada resultado posible.

En el sencillo ejemplo anterior es inmediato hacer cálculo de probabilidades, ahora directamente respecto a los valores que puede reportar la variable aleatoria X. La probabilidad de que reporte el valor +$100 es la del evento representado por los resultados {5,6}, que a su vez tiene probabilidad 2/6 = 1/3, y esto lo escribimos:

P( X = +$100 ) = 1/3

De forma análoga se deducen los otros dos casos.

En el ejemplo anterior fue muy fácil deducir cómo realizar cálculo de probabilidades con la variable aleatoria X, gracias a que se tiene perfectamente caracterizado el espacio de probabilidad que representa al experimento aleatorio. Pero en la compleja realidad que usualmente nos interesa modelizar, con frecuencia no es posible especificar un espacio de probabilidad que represente al fenómeno o experimento aleatorio, y solo tenemos, si acaso, acceso a ciertas cuantificaciones de los resultados.

Pensemos en un seguro de daños para automóviles: describir exhaustivamente todas las formas posibles en que puede dañarse un vehículo, junto con una medida de probabilidad detallada sobre ese universo de posibilidades, sería en la práctica una tarea descomunal, si no es que imposible.

Lo que sí tenemos, en cambio, son registros históricos del monto del daño, del costo de reparación, del número de siniestros o del tiempo hasta que ocurra un accidente. Es decir, no solemos modelizar directamente toda la realidad en bruto, sino ciertas variables aleatorias que cuantifican aspectos de interés de esa realidad. A partir de datos observados sobre esas variables, la inferencia estadística permite estimar sus distribuciones de probabilidad, para posteriormente realizar cálculos probabilísticos.

Finalmente, sobre un mismo fenómeno de interés, se pueden definir tantas variables aleatorias como se requiera, donde cada una puede estar cuantificando distintos aspectos que son de utilidad. Por ello mencioné al inicio que las (mal) llamadas variables aleatorias son los building blocks de toda modelización probabilística: no describen toda la realidad, pero sí nos permiten extraer de ella aquello que queremos medir, entender y predecir.

Tomé prestado el título de la película π: el orden del caos como homenaje a esa obra de arte que, si no la han visto, la recomiendo ampliamente. π es, sin duda, una de las constantes matemáticas más célebres. No porque no pueda definirse con exactitud. Al contrario: π está determinado con toda precisión matemática. Lo desconcertante es otra cosa: su expansión decimal es infinita y no periódica. Es decir, sus dígitos continúan indefinidamente sin entrar jamás en la cómoda rutina de una repetición cíclica:

π = 3.1415926535897932384626433832795…

A diferencia de lo que ocurre con ciertos números racionales, en π no aparece un bloque finito de dígitos que se repita una y otra vez. Por ejemplo,

2 / 11 = 0.1818181818181818…

y ahí la regla salta a la vista: “18”, “18”, “18”… hasta el infinito. En π no hay nada parecido.1 No hay estribillo. No hay compás reconocible. No hay una melodía corta que vuelva siempre al inicio. Y, sin embargo, eso no significa que reine el desorden.

Aquí es donde la Estadística entra en escena, no para reemplazar a las matemáticas, sino para mirar el problema desde otro ángulo. Porque una cosa es que no exista periodicidad, y otra muy distinta es que no exista regularidad, en algún sentido. La ausencia de patrón simple no equivale al caos absoluto.

La pregunta entonces es inevitable: ¿cómo se comportan, estadísticamente, los dígitos de π?

Si observamos una enorme cantidad de ellos, lo primero que podemos preguntar es si los diez dígitos posibles, del 0 al 9, aparecen con frecuencias aproximadamente iguales. Y la respuesta empírica, al menos en los primeros mil millones de dígitos,2 es sorprendentemente clara:

0 → 99,993,942 veces
1 → 99,997,334
2 → 100,002,410
3 → 99,986,911
4 → 100,011,958
5 → 99,998,885
6 → 100,010,387
7 → 99,996,061
8 → 100,001,839
9 → 100,000,273 veces

Dicho sin rodeos: cada dígito aparece, en esencia, el 10% de las veces.

Eso no demuestra que π sea un número normal.3 Ni de cerca. Una muestra finita, por inmensa que sea, no basta para resolver un problema abierto en matemáticas. Pero sí alcanza para dejar una impresión fuerte: los dígitos de π se comportan como si nadie tuviera preferencias. Como si el 7 no gozara de privilegio alguno sobre el 3. Como si el 0 no estuviera condenado a la rareza. Como si, en el largo plazo, todos acabaran ocupando un lugar equivalente.

No sólo los dígitos individuales parecen repartirse de manera uniforme. También las transiciones entre un dígito y el siguiente exhiben una regularidad desconcertante. Si en una posición cualquiera aparece, digamos, un 4, el dígito siguiente puede ser 0, 1, 2, …, 9, y al contar millones y millones de casos, esas continuaciones se reparten otra vez de forma casi perfectamente equilibrada.

Luego vienen los bloques más largos. Secuencias de cinco dígitos. De seis. De diez. Y el panorama vuelve a repetirse: lo que, desde una intuición estadística, debería verse “uniforme”, se ve extraordinariamente uniforme. Pensemos, por ejemplo, en alguna secuencia particular de 5 dígitos. Se pueden construir un total de 10^5=100,000 secuencias distintas de 5 dígitos. Una condición de uniformidad asignaría probabilidad 1/100,000 = 0.00001 a cada secuencia de 5 dígitos, y por tanto a lo largo mil millones de dígitos (10^9) esperaríamos encontrar aproximadamente 10^4=10,000 repeticiones de cada posible secuencia de 5 dígitos. En efecto, en los primeros mil millones de dígitos de π, si buscamos la secuencia “12345” encontramos que aparece 10,049 veces, muy similar a “66666” que aparece 10,037 veces, a “00000” que aparece 9,968 veces, y a “91919” que aparece 9,974 veces, por poner algunos ejemplos.

Incluso la ausencia de una secuencia específica dentro de un tramo finito no escandaliza: bajo un modelo uniforme, hay bloques que simplemente tardan mucho en aparecer, y algunos no alcanzan a hacerlo en un segmento de longitud relativamente “pequeña”, aunque ese segmento mida mil millones de dígitos.

La secuencia “9876543210” no aparece una sola vez en los primeros mil millones de dígitos de π, pero esto no significa que no pueda aparecer más allá de los mil millones de dígitos. De hecho, suponiendo probabilidad uniforme, cualquier secuencia de 10 dígitos, como lo es “9876543210”, tendría una probabilidad 10^(-10), lo que implicaría que aparecería, en promedio, 1 vez cada 10 mil millones de dígitos, y como solo buscamos sobre los primeros 1 mil millones de dígitos, no sorprende que no haya alcanzado a aparecer (mala suerte 😜), aunque otras secuencias de 10 dígitos sí aparezcan, por ejemplo “6666666666” que sí tuvo la “suerte” de aparecer una sola vez en las posiciones de la 386,980,412 a la 386,980,421, antecedido de “…05” y precedido de “91…” porque, al parecer, en promedio solo 1 de cada 10 secuencias de 10 dígitos lograría estar en los primeros mil millones de dígitos de π (suponiendo uniformidad).

Y aquí viene la pregunta incómoda, la verdaderamente interesante:

¿Debemos considerar a la expansión decimal de π como una sucesión aleatoria?

La respuesta matemática estricta es no. π no está improvisando sus dígitos. No los sortea. No los inventa sobre la marcha. Cada uno está completamente determinado. No hay aleatoriedad intrínseca. Si conocemos el procedimiento adecuado y tuviéramos recursos computacionales suficientes, podríamos calcular cualquier dígito que quisiéramos. En ese sentido, π es una secuencia absolutamente fija.

Pero la Estadística no siempre pregunta por la esencia de las cosas. Muchas veces pregunta por su comportamiento observable. Y desde ahí la historia cambia, porque si yo no utilizo el mecanismo exacto que genera los dígitos de π y, en lugar de eso, observo sólo la sucesión, lo que veo es una cadena que se comporta de forma abrumadoramente parecida a una fuente aleatoria uniforme sobre los dígitos del 0 al 9. No estoy diciendo que π sea aleatorio. Estoy diciendo algo más sutil, y quizá más interesante: que modelizarlo como si lo fuera resulta extraordinariamente natural.

Eso significa que, frente al siguiente dígito no calculado, mi incertidumbre puede representarse razonablemente con una probabilidad uniforme. No porque π lance dados, sino porque, desde la información parcial que tengo, no parece haber motivo alguno para favorecer un dígito sobre otro. Esa probabilidad no describe un capricho de π; describe mi ignorancia de forma coherente.

Y ahí aparece una de las lecciones más bellas de la Estadística: con frecuencia eso que llamamos “azar” no está en el objeto, sino en nuestra incertidumbre sobre él.

π es totalmente determinista. Pero nuestra experiencia de π no lo es. Lo que vemos, cuando nos asomamos a sus dígitos, es algo que se parece muchísimo al caos. Un caos sobrio. Un caos con estructura. Un caos que, al ser observado a gran escala, empieza a revelar una ley silenciosa.

Tal vez por eso π fascina tanto. Porque encarna una paradoja que no es sólo matemática, sino también intelectual: una sucesión completamente determinada que, mirada desde cierta distancia, parece aleatoria; un objeto rígido que produce la ilusión del desorden; una cifra eterna cuyos dígitos, uno tras otro, se comportan como si estuvieran jugando.

π no es caos. Pero tampoco es el tipo de orden tranquilizador que cabe en una regla simple. Es otra cosa: el espectáculo de un orden tan profundo que, a primera vista, se confunde con un supuesto “azar”.

Algunas de las ideas del artículo Science and Statistics publicado por George E. P. Box en 19761 dieron origen al conocido aforismo estadístico:

Todos los modelos son incorrectos, pero algunos resultan útiles.

Prácticamente cualquier modelo científico que se proponga para representar o explicar un fenómeno de interés es una mera aproximación del mismo, difícil y raramente se trata de una representación exacta. Pero basta con que dicha aproximación sea aceptablemente buena (en algún sentido) para que sea útil en fines específicos. A partir de algún conjunto de supuestos que se consideran razonables es que construye un modelo, y es en la medida en que dichos supuestos son o no realistas que un modelo logra mejores o peores aproximaciones a la realidad que pretende representar o explicar.

En la construcción de modelos probabilísticos, un supuesto que aparece con frecuencia es el de independencia. Una vez que se especifica una medida de probabilidad inicial P, con base en toda la información disponible hasta un momento dado, ésta deberá actualizarse ante la llegada de nueva información que inicialmente no había sido considerada. Por ejemplo, la ocurrencia posterior de algún evento específico obliga a la revisión y actualización del cálculo de probabilidades para todos los demás eventos. Algunas cambiarán, otras posiblemente no.

Si A representa a un evento que ocurre, entonces la probabilidad que inicialmente tenía cualquier otro evento representado por E se actualiza de P(E) a P(E|A), donde esto último hace referencia a la probabilidad de ocurrencia del evento representado por E, pero actualizada por el hecho de que el evento representado por A ha ocurrido (o bien por el hecho de suponer que A ha ocurrido, si estamos analizando posibles escenarios). En Teoría de la Probabilidad a P(E|A) se le denomina probabilidad de E condicional en (la ocurrencia de) A.

Ante la ocurrencia de un evento representado por A, se dice que un evento representado por E es un evento independiente de A si la actualización de probabilidad para ese evento en particular no cambia, es decir, es la misma que la que tenía antes de la ocurrencia de A: P(E|A) = P(E). Y en el caso de que P(E|A) sea distinta a P(E) entonces se dice que E tiene dependencia con A, porque la ocurrencia de A obligó a modificar la probabilidad que inicialmente tenía asignada. Como consecuencia del concepto anterior, es posible justificar formalmente que dos eventos representados por A y B son independientes si, y solo si, la probabilidad de ocurrencia simultánea de dichos eventos es igual al producto de las probabilidades individuales, esto es que P(A y B) = P(A)P(B).

Si se conocen las probabilidades individuales de dos eventos, representados por A y B, en caso de que sea cierto (o de que sea razonable suponer) que representan eventos independientes, es inmediato calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea como P(A)P(B). Sin un supuesto de independencia, el conocer los valores individuales P(A) y P(B) no es suficiente para calcular P(A y B), y el cálculo requiere entonces más información y procesamiento. Y es justamente por esto último que, con frecuencia, se abusa del supuesto de independencia para “facilitar” el cálculo de probabilidad de ocurrencia simultánea de varios eventos como un simple producto de probabilidades individuales de los eventos involucrados. Pero si el supuesto de independencia está muy lejos de ser realista, el cálculo así obtenido será fácil pero poco o nada útil.

La recomendación es la obvia: ante cualquier modelo probabilístico en donde su construcción involucre supuestos de independencia, es importante verificar de algún modo si dichos supuestos tiene fundamento o son razonables, ya sea por experiencia o juicio de expertos, o bien porque mediciones históricas estadísticamente analizadas así parecieran sustentarlo. Un ejemplo común, en el ámbito de seguros, es suponer independencia entre la severidad de siniestros y su frecuencia de ocurrencia. Modelos actuariales clásicos así se plantean, pero es obligación de quienes aplican dichos modelos verificar si dicho supuesto es realista en cada caso particular, y de no serlo, modificar dichos modelos en consecuencia, aunque se dificulten los cálculos, porque de otra forma el cálculo fácil pero alejado de la realidad tendrá consecuencias negativas en su aplicación.

Mi intención con este tipo de reflexiones es mantener las ideas que se abordan en un plano más conceptual e intuitivo que formal, pero para quienes gusten de un poco más de detalle y formalidad tengo algunos videos en YouTube que abarcan parte de lo discutido en estos primeros cinco disparos desde Estadística Subversiva:

• Espacios de Probabilidad

• Experimento aleatorio binomial

• Probabilidad condicional

A los fenómenos o experimentos de resultado incierto (mal llamados aleatorios) se les representa matemáticamente mediante un espacio de probabilidad:

que consta de tres elementos: 1) Conjunto de resultados posibles u observables (letra griega Omega, mayúscula); 2) Colección de subconjuntos de Omega que representan eventos (letra F mayúscula caligráfica); 3) Una medida de probabilidad P que cuantifica el grado de incertidumbre sobre la ocurrencia de cada evento, en un rango de valores que convencionalmente se ha acordado sea entre 0 y 1:

Los valores extremos 0 y 1 representan valores ideales de máxima certidumbre, reservando el 1 para la certidumbre de que ocurra un evento, y el 0 para la certidumbre de que no ocurre un evento, aunque típicamente no es posible asignar valores 0 y 1 a los eventos que interesan, porque se carece de información suficiente para ello. En el intervalo de valores [0,1] lo más lejos que se puede estar de los extremos (y, por tanto, de la certidumbre) es el punto medio, esto es 0.5, cuantificación que entonces representa la máxima incertidumbre.

¿Con base en qué se define la regla que permite asignar a cada evento representado por E un valor P(E) que cuantifique el grado de incertidumbre sobre su ocurrencia? Es con base en una interpretación de la información con que se cuenta en un momento dado en el tiempo, que siempre es subjetiva y relativa al individuo o grupo de individuos que la procesan, y por tanto, además de subjetiva, siempre es condicional en dicha información, misma que más adelante puede cambiar y, por lo tanto, obliga a actualizar constantemente la medida de probabilidad P.

Lo anterior es claro hasta en ejemplos sencillos como lanzar un dado con caras numeradas {1,2,3,4,5,6}. ¿Cómo asignamos probabilidades a cada uno de los posibles resultados? Si tuviéramos certeza de que se trata de un dado equilibrado asignaríamos 1/6 por igual a cada uno, pero… ¿cómo sabemos que realmente está equilibrado? ¿Porque así lo creemos o percibimos? ¿O porque lo llevamos a un laboratorio especializado e hicieron un análisis molecular para medir la densidad del dado, y verificar si ésta es perfectamente uniforme?

Las preguntas anteriores refieren dos extremos, el primer caso con muy poca información, y el segundo con mucho más, pero ni en este último tendríamos certeza, porque las mediciones de laboratorio siempre tienen un margen de error, ya que no contamos con instrumentos de precisión infinita. Quizás alguien con algo de conocimientos de Estadística propondría un experimento menos sofisticado, pero más accesible: lanzar el dado muchas veces, calcular la frecuencia relativa de aparición de cada resultado, y aplicar alguna técnica de inferencia estadística para intentar emitir una decisión sobre la siguiente hipótesis:

Ho: “El dado está equilibrado”

El enfoque clásico de la Estadística solo puede, bajo ciertos escenarios, rechazar la hipótesis, pero siempre con una probabilidad de error (Tipo I, le llaman), no nos da certeza al respecto. Y en caso de no rechazar, eso no implica aceptar, porque en este caso el llamado error Tipo II (aceptar erróneamente) resulta muy elevado (ya discutiremos sobre esto en un artículo posterior). Y encima, eso de lanzar el dado “muchas veces” pues… ¿cuánto es mucho o suficiente? Entre más, mejor, dicen, pero cualquier cantidad de veces no nos dará certeza absoluta, así como ningún instrumento de laboratorio tiene precisión infinita, por bueno que sea.

El enfoque bayesiano de la Estadística, en contraste con el clásico, cuantifica directamente la incertidumbre sobre la hipótesis en cuestión, estimando su probabilidad con base en la Regla de Bayes, combinando la información a priori con que se cuenta (usualmente subjetiva) con lo observado hasta el momento en los lanzamientos del dado, para obtener una probabilidad a posteriori, que será necesario estar actualizando conforme llegue nueva información.

El enfoque bayesiano abiertamente combina juicios subjetivos con información observada (muestral) en la cuantificación de la incertidumbre que interesa. En este sentido, podría pensarse entonces que el enfoque clásico sí es totalmente objetivo por basar sus inferencias únicamente en las frecuencias relativas observadas, pero la realidad es que también hay subjetividad en sus procedimientos, y en el ejemplo anterior recae en el umbral (valor crítico, le llaman) que define la frontera entre rechazar y no rechazar la hipótesis, porque dicho umbral se elige de forma que la probabilidad de error Tipo I (es decir, de rechazar erróneamente) sea “aceptablemente baja” y… ¿quién decide cuánto es una probabilidad “aceptablemente baja”? ¿Por qué p = 0.05? ¿Por qué p = 0.051 ya no? Es una elección totalmente subjetiva y personal.

No hay probabilidad totalmente objetiva: toda probabilidad es un juicio, parcialmente informado, sobre lo que creemos posible, plausible o casi seguro, dado lo que sabemos (y también lo que ignoramos) en un momento concreto. Lo honesto, entonces, no es fingir o pretender objetividad, sino hacer explícitos los supuestos personales, reconocer las limitaciones de la información disponible y aceptar que cualquier cuantificación de incertidumbre exige constante actualización ante nueva evidencia. La Estadística no debería ser un ritual de números sagrados (como el p-value = 0.05), sino una disciplina para pensar mejor bajo incertidumbre: con claridad sobre nuestros supuestos y limitaciones, y con prudencia sobre nuestras conclusiones.

Uno de los conceptos fundamentales de la Teoría de la Probabilidad, y al mismo tiempo uno de los peor explicados y entendidos, es el de evento, y sobre ello me permito exponer algunas ideas subversivas. El estudio de aquellos fenómenos y experimentos de resultado incierto (mal llamados “aleatorios”, lea El azar no existe) comienza por identificar el conjunto de resultados posibles, respecto a los cuales existe incertidumbre sobre el que se observará u obtendrá en un momento dado. A dicho conjunto, que denotaremos mediante la letra griega mayúscula omega

usualmente se le denomina, de forma excesiva, espacio muestral. En matemáticas se reserva el concepto de espacio para hablar de uno o varios conjuntos, con algunas operaciones y relaciones ahí definidas. Denominar “espacio muestral” a lo que solo constituye un conjunto me parece excesivo, pero desafortunadamente ya se afianzó esa terminología. Tan fácil que sería denominarlo simplemente conjunto muestral, si acaso.

Para que exista incertidumbre sobre el resultado, el espacio muestral debe tener al menos dos resultados posibles, pudiendo tener incluso una cantidad infinita, numerable o no numerable. En este contexto ¿qué es un evento asociado al fenómeno o experimento de interés? Es común encontrar en muchos libros elementales de Probabilidad que lo definan simplemente como un subconjunto del espacio muestral. Esto es tan absurdo como pretender que lo siguiente es una definición: un chilango1 es un mexicano. Lo anterior es consecuencia de una definición (chilango = persona que nació en la Ciudad de México, por ejemplo), pero no es aceptable como definición, ya que también un veracruzano es mexicano, esto es, no todo mexicano es chilango.

A todo evento se le puede asociar un subconjunto del espacio muestral, pero no todo subconjunto del espacio muestral representa un evento, y por ello no es aceptable como definición.

Un evento es una proposición lógica2 cuya evaluación como verdadero o falso depende del resultado del fenómeno o experimento al que se le asocia.

Consideremos el experimento de lanzar sobre una mesa un dado con caras numeradas del 1 al 6. El espacio muestral se puede representar como:

y respecto a éste podemos definir eventos de interés, por ejemplo:

Claramente se trata de una proposición lógica que podrá ser evaluada como verdadera o falsa, una vez que se conozca el resultado del lanzamiento. Como consecuencia de esta definición particular, podemos identificar cuáles posibles resultados tendrían como consecuencia evaluar al evento como verdadero, y construir un conjunto con dichos elementos:

Esto es, como consecuencia de la definición de este evento particular, podemos asociarle un subconjunto del espacio muestral que tiene por elementos solo a aquellos resultados que conducen a una evaluación de verdadero a la proposición lógica que define al evento. Decimos entonces que ocurre un evento cuando la proposición lógica que lo define resulta ser verdadera ante un resultado observado, y obviamente que no ocurre cuando la evaluación es falsa. Esto implica que cada vez que se repita el fenómeno o experimento de resultado incierto, dependiendo del resultado en cada ocasión, será que hablaremos de que un mismo evento a veces ocurre y a veces no.

¿Existen subconjuntos del espacio muestral que no son eventos, así como existen mexicanos que nos son chilangos? La respuesta es afirmativa, pero no se me ocurre una forma simple de explicarlo sin recurrir a conceptos de Teoría de la Medida (si alguien tiene una sugerencia, comparta por favor). Y justamente esto ponen de pretexto algunos colegas para definir provisionalmente el concepto de evento como subconjunto del espacio muestral. Pero para entender una definición de evento como una proposición lógica no se requiere de conceptos más avanzados de matemáticas, más allá de la lógica proposicional. Considero que es mejor definirlo así, y dejar para más adelante la curiosidad de cómo construir subconjuntos de un espacio muestral que no sean probabilísticamente medibles y que, por tanto, no existe un evento que se asocie a ellos, en lugar de engañar a principiantes con una definición errónea.

El subtítulo contesta en una frase la pregunta del título. Fin del artículo.

Corolario:

La palabra Estadística nació con aroma a oficina pública: viene de estado (status), de contar, clasificar y “tener a la población bajo control” con tablas, censos y registros. Al principio no era una ciencia, sino una actividad de registro administrativo: cuánto tienes, tamaño de poblaciones, cuánto se produce, cuántos nacen y mueren. Pero la Estadística no nació para contemplar el mundo, sino para actuar sobre él.

Con el tiempo, esa contabilidad del Estado se convirtió en algo más peligroso (en el buen sentido): aprender del pasado sin quedarnos esclavos de él. La Estadística dejó de ser una libreta de inventario y se transformó en un lenguaje para pelear con lo inevitable: la variabilidad, el error, y el mal llamado “azar”, que en realidad es incertidumbre por falta de información porque, como escribí en un artículo precedente, El azar no existe. Y aquí viene el giro: no se trata de “datos” como fetiche; se trata del salto intelectual de ir de observaciones finitas a afirmaciones sobre un mundo que no controlas. Ese salto se llama inferencia. Y la inferencia, sin una teoría de incertidumbre, es solo fe con hojas de cálculo.

Dennis V. Lindley1 lo dice sin rodeos: la Estadística es el estudio de la incertidumbre; los estadísticos (statisticians) son expertos en modelizar y cuantificar incertidumbre. Y remata con una imagen brutalmente honesta: no estudiamos el mecanismo de la lluvia; solo la incertidumbre sobre si va a llover o no. La Estadística vive en una relación incómoda con la realidad: depende del “cliente” (científico, médico, juez, empresa) y su problema, porque la incertidumbre no flota en el vacío.

Ahora, el punto que incomoda a muchos: si de verdad vas a hablar de incertidumbre de forma seria y científica, tienes que medirla y combinarla. Lindley se burla (y con razón) de los políticos que prefieren adverbios a números porque, desafortunadamente, los adverbios no se pueden combinar de forma cuantificable. Por ello es que formula una tesis que debería estar escrita en la entrada de cualquier “laboratorio de datos”: la incertidumbre se describe coherentemente con probabilidad, porque respeta reglas consistentes de combinación. Y cuando no haces esa distinción, caes en el pecado capital del pseudo-rigor: confundir la probabilidad de los datos dado un modelo con la probabilidad del modelo dado los datos. Lindley lo explica así: el significance level es “la probabilidad de algún aspecto de los datos, dado que una hipótesis H es cierta”; cuando la probabilidad que interesa y tiene aplicación es “la probabilidad de H, dados los datos”. Y algo similar ocurre con los mal llamados “intervalos de confianza”, ya abordaré de manera específica los problemas de la inferencia clásica respecto a pruebas de hipótesis y estimación por intervalo, en artículos posteriores.

Y aquí va la patada a la mal llamada “Ciencia de Datos”. No porque no sirva, sino porque el nombre es propaganda: no es una ciencia del dato, es una industria del data pipeline. La mayor parte de lo que presume como “nuevo” es Estadística de siempre con esteroides computacionales y mejor marketing. Pero se vende como si el problema fuera “extraer insights”, cuando el problema real es construir modelos de incertidumbre que la midan coherentemente, porque sin cuantificar incertidumbre, tu “insight” es solo un slogan con decimales. Lindley encaja perfecto aquí: el análisis exploratorio es valioso, sí, pero como paso previo para formular un modelo antes de hacer el cálculo probabilístico de inferencia. Así que, si tu “data scientist” aplica a ciegas black-box models pero no puede decir claramente qué cree, bajo qué supuestos y con qué grado de incertidumbre, no es un científico: es un numerólogo con acceso a GPUs.

Decimos “tuve mala suerte” como si el universo fuera un dealer caprichoso repartiendo cartas al azar. Pero en la vida cotidiana, la mayoría de las veces “azar” es solo un atajo lingüístico para no decir lo obvio: no tengo suficiente información, ni control, ni el modelo adecuado para explicar o predecir lo que pasó. Un volado parece azaroso porque no medimos la fuerza exacta del pulgar, la altura, el giro, la fricción con el aire y el rebote; no porque la moneda “decida” ser águila o sol en un acto metafísico de libertad.

De hecho, incluso si el mundo fuera perfectamente determinista, seguiríamos necesitando de la probabilidad. Ya no para describir “caprichos” de la naturaleza, sino para describir nuestro estado de conocimiento sobre ella, para cuantificar nuestro grado de incertidumbre. En este sentido, la probabilidad no es una propiedad de las cosas: es una propiedad de nuestras creencias cuando somos coherentes y honestos con la evidencia. Si entre dos posibles escenarios tu apreciación es “50/50” de probabilidad de ocurrir para cualquiera de ellos, lo que estás declarando y confesando es tu pobre nivel de información y tu disposición a inclinarte más en algún sentido cuando tengas más información.

Aquí es donde la Estadística clásica se pone incómoda, porque suele vender “objetividad” como si fuera un perfume: elegante, caro y con una etiqueta que dice “significativo”. Pero esa supuesta objetividad muchas veces es una decisión escondida detrás de procedimientos automáticos: umbrales arbitrarios, supuestos de normalidad por costumbre, independencia por fe, y una devoción casi religiosa al p-value como oráculo. La Estadística Bayesiana, en cambio, es indecente (y por eso me gusta): obliga a confesar tus supuestos, a desnudar tus creencias a priori. Te hace decir qué crees antes de ver los datos, y te obliga a actualizar tus creencias de manera explícita después, es decir, a posteriori.

¿Y la física cuántica? ¿No hay indeterminación real? Tal vez. Y aun si existiera azar ontológico en ciertos rincones de la realidad, sería un error usarlo como coartada para evitar esforzarse por disminuir la incertidumbre cotidiana. En lo macroscópico, lo que domina es la incertidumbre práctica (epistémica): complejidad, ruido, medición imperfecta y modelos incompletos. El punto disruptivo no es negar lo cuántico; es desenmascarar lo cotidiano: cuando le dices “azar” a algo, con frecuencia estás renunciando a entenderlo informándote más, aunque sea solo parcialmente.

Así que propongo un pacto incómodo: dejemos de venerar y utilizar al “azar” como explicación. Llamemos a las cosas por su nombre: incertidumbre, información parcial, modelos aproximados, decisiones bajo riesgo. Dejemos de tratar a la Estadística como un conjunto de rituales que certifican verdad. La Estadística, bien entendida, es una ética del pensamiento: aprender a vivir con lo que no sabemos, sin inventar certezas, y actualizando nuestras creencias cuando la evidencia nos contradice.

Si llegaste hasta aquí y estás pensando “esto es pura filosofía barata”, perfecto: justo de eso se trata Estadística Subversiva. No busco que estés de acuerdo conmigo; quiero que argumentes. Porque el problema no es creer en el azar: el problema es usar “azar” como palabra comodín para no pensar, y como pretexto para no recabar más información.

Te dejo una pregunta para abrir fuego en los comentarios:

¿En qué situaciones de tu vida crees que sí existe azar “real” y no solo incertidumbre por falta de información? Dame un ejemplo concreto.

Y finalmente una encuesta, cuyo resultado compartiré y comentaré posteriormente: